数式って思ったほど怖くない!?

AI × 数学を勉強していると、必ず数式にぶち当たりますよね。数学が苦手な人は、ここでそっと本を閉じてしまうわけです。

これ、非常にもったいない話です。

数式の読み方とか捉え方には、ちょっとしたコツがあります。数式自体を厳密に理解しなくても、この数式が何をやっているのかイメージすることは案外難しくありません。

今日はそんなお話をしてみます。

文字と記号は意味がわかれば怖くない

文字は「具体的な値」を想像してみる

数式が怖く見えるのは、それが「あまりに効率化されすぎた言語」だからです。

まず、数式には必ず $x, y, \theta, \bold{w}$ … といった文字が現れます。しかも、普段は見慣れない、読み方もよくわからない字体（ギリシャ文字）が突然出てきたりもします。

しかし、ここで尻込んではいけません。

数式に文字を使うこと自体は中学数学で最初に習ったはずで、あなたはすでにその意味を知っているはずなんです。

そう、「何かしらの値を入れる箱」、変数、もしくは定数に他なりません。

「値」と言っていますが、そこに入るのはただの数字かもしれないし、何らかの文字（を数値で表したもの）かもしれない。時には数字をたくさん集めた集合体（ベクトルとか行列と言います）かもしれない。

でも、実際そこに入るのは「具体的な何か」なんです。

ってことは、数式を考えるとき、そこには何かしらの具体的な値が入っている様子を想像すると、頭の中でその文字を消し去るイメージができませんか？… 文字に関しては、まずそんな見方を心がけてみましょう。

記号は、何かしらの「手順」を簡略化した表現

次に「記号」です。

数学者というのは、驚くほど面倒くさがり屋な人種です。

このように、記号にそのプロセスをすべて詰め込んでしまったわけですね。
つまり、実際に数式に出てくる記号は、ある一定の「手順」を一言で省略表現したものに過ぎないわけです。

記号には必ず意味がありますので、「記号の意味」と「最低限の計算ルール」はあらかじめ知っておく必要があり、まずはこれが大前提です。

ここに関しては残念ながら、ある程度の経験と慣れが必要なところかもしれません。

しかし、実際数式を読む際、いきなり数式だけがバンっと出てくることはありません。
書籍で勉強しているなり、ネットで調べ物をしているなり、何かしらのきっかけがあって、その過程で出てくるはずです。

そうした場合、その数式が語られる背景やストーリーが、その前後に必ずあるはずなので、雰囲気である程度は理解できると思います。

そうでなくても、実際は何度か見ていけば自然と覚えられますし、とりあえず頭でイメージできるだけでも大丈夫です。

身構える必要は全くありません。こんなイメージで一旦は大丈夫です。

数式という設計書を日本語に翻訳する

数式に対する苦手意識を克服するコツは、数式をそのまま理解しようとせず、まずは日本語に「和訳」してみることです。

また、数式を構成しているパーツを「塊で捉え」、「極端な数値を当てはめてみる」ことで、数式の背後にある意図を驚くほど簡単に理解できるようになります。

数式を読み解く際は、計算しようとするのではなく、まずは「設計書を読む」ような感覚で、意味を日本語に翻訳することから始めましょう。

実践！数式を和訳するための3つのポイント

数式を「解読」するための具体的な戦略をご紹介します。

実際にいくつかやってみましょう。

【実例1】平均を求める式

よく見かける平均の式を、あえて「数式アレルギー」が出るような書き方で表してみましょう。

一見すると呪文のようですが、これを「塊」で和訳するとこうなります。
（塊は「後ろから考える」のもコツの一つです）

塊（パーツ）	直訳（数学的意味）	和訳（具体的にイメージ）
$x_{i}$	$i$ 番目のデータ	$i$ 番目の人の点数
$\sum^{n}_{i=1}$	$i=1$ から $n$ まで足し合わせる	$n$ 人全員の点数の合計
$\frac{1}{n}$	データの個数 $n$ で割る	合計点を人数分の $n$ で割る

【実例2】シグモイド関数

AIを勉強していると必ず出てくるシグモイド関数。

塊（パーツ）	直訳（数学的意味）	和訳（具体的にイメージ）
$e^{-x} （= \frac{1}{e^{x}}）$	指数関数の逆数	$x$ が極端に大 → 塊の値はほぼ0 $x$ が極端に小 → 塊の値は無限大
$1 + e^{-x}$	1 + 正の値（= 1より大きい値）	塊の値はどんなに小さくても、1より大きい数
$\frac{1}{1+e^{-x}}$	「1 より大きい値」の逆数	塊の値は 0 〜 1 の間の数

【実例3】ソフトマックス関数

これもAIを勉強していると必ず出てくるソフトマックス関数。ちょっと難易度高めですが大丈夫です。

塊（パーツ）	直訳（数学的意味）	和訳（具体的にイメージ）
$z_{i}$	$i$ 番目のデータの入力スコア（①）	$i$ 番目の人の点数（①）
$e^{x_{i}}$	①を指数変換（②）	①を強制的にプラスの値に変換 (マイナスの人がいるかも？）（②）
$\sum_{j=1}^{k}e^{x_{j}}$	$k$ 個の全ての②の合計	$k$ 人全員分の②を合計
$\frac{e^{z}_{i}}{\sum_{j=1}^{k}e^{z}_{j}}$	全データでの $i$ 番目データの比率	全体での $i$ 番目の人の点数の比率

【実例4】Attention（アテンション）機構

応用編になりますが、こちらもAI理解では重要な仕組みを表す数式です。

この数式を意味まで含めて読み解くのは、その背景などの理解がないと難しいですので、一旦、数式の「構造だけ」をみてみることにします。

また、前提となる最低限の計算ルールもちょっと重めなので、ここはAI × 数学の学習をある程度進めてからの方がいいかもしれません。「構造だけ」と割り切って気にならない人は、一旦納得して読み進めてください。

なお、複雑さを一定排除するため、上記の数式を一部変更して、こちらで考えていこうと思います。
（$Q$という行列を、$\bold{q}$ というベクトルに変えていますが、本質は同じです）

塊（パーツ）	直訳（数学的意味）	和訳（具体的にイメージ）
$\bold{q}K^{T}$	ベクトル × 行列の各列 の内積計算	「 $\bold{q}$ 」と「 $V$ の各列ベクトル」との内積を計算していて、結果は「類似度が並んだベクトル」になる（①）
$\sqrt{d_{k}}$	ベクトル次元数の平方根	ただの数値
$\frac{\bold{qK^{T}}}{\sqrt{d_{k}}}$	スケーリング	①のベクトルの各値を全体的に小さくしている（値が大きくなりすぎないように調整？）（②）
$softmax(\frac{\bold{q}K^{T}}{\sqrt{d_{k}}})$	確率分布（重み）に変換	②のベクトルの各値を合計1となるように比率に変換
$softmax(\frac{\bold{q}K^{T}}{\sqrt{d_{k}}})V$	重みに従って加重平均を計算	②の比率で $V$ の各要素を重みづけして新しいベクトルを作っている

構成だけだと無機質すぎて、逆にわかりづらいかもしれませんね。ただ、数学的にどんな計算をしているかを追うことは、さほど難しくないということは、おわかりいただけたでしょうか。

まとめ

最後まで読んでいただき、ありがとうございました！