数学者でも間違えた「あの問題」
3つの扉があって、1つだけ当たり（車）、残り2つは外れ（ヤギ）。
あなたが扉を1つ選んだあと、司会者が残りの扉のうち1つを開けて「これは外れですよ」と教えてくれます。
そして、こう聞かれるんです。
「最初に選んだ扉のまま？それとも、もう1つの扉に変える？」
これが有名なモンティ・ホール問題です。
直感的には「残り2つだから50%ずつでしょ」って思いますよね。
でも正解は「変えたほうが当たる確率は2/3」。
変えると当たる確率が2倍になるんです。
この問題、1990年にアメリカの雑誌コラムで取り上げられたとき、数学者を含む何千人もの読者から「それは間違いだ」と抗議が殺到したんですね。
それくらい、人間の直感に反する結果なんです。
でも、ある考え方を先に知っていると、この問題がスッと腑に落ちるようになります。
それが、以前もお話ししたベイズ推論という視点です。
ベイズ推論を、モンティ・ホール問題に持ち込む
こちらの記事で、ベイズ推論の基本的な考え方『新しい情報が加わったら、確率の見積もりを更新する』を、生成AIのプロンプト設計という切り口で紹介しました。
今回は、そのベイズ推論を別の角度から使ってみます。
モンティ・ホール問題をベイズの目で見直すと、「なぜ変えたほうが得なのか」が直感レベルで納得できるようになるんですね。
ポイントになるのは、前回の記事でも触れた事前確率と事後確率の関係です。
情報が加わる前の見積もり（事前確率）が、新しいデータによってどう更新されるか（事後確率）。
この枠組みを、モンティ・ホール問題に当てはめてみましょう。
モンティ・ホール問題は、他にもわかりやすい解説をされている方がたくさん居られますので、よかったら調べてみてください。ここでは、ベイズ1本でいきます。
ベイズの目で、3つのステップを追う
ステップ1：最初の選択（事前確率）
あなたが扉Aを選んだとして、その時点での確率はこうです。
- 車がAにある確率：1/3
- 車がBにある確率：1/3
- 車がCにある確率：1/3
ここまでは当然ですよね。
これがベイズ推論で言う事前確率、まだ新しい情報がない状態での見積もりです。
ステップ2：司会者が扉を開ける（新しい情報の追加）
ここで司会者が扉Cを開けて「これはヤギですよ」と教えてくれます。
ベイズ推論の視点で見ると、これは新しいデータが追加された瞬間なんですね。
そしてここに決定的なポイントがあります。
司会者は必ず外れの扉を開けるというルールで動いている。
ランダムではなくです。ここがポイント。
ステップ3：確率を更新する（事後確率）
ベイズ的に、「司会者がCを開けた」というデータのもとで各仮説を更新してみます。
- 車がAにある場合（事前確率1/3）：司会者はBかCどちらでも開けられる → Cを開ける確率は1/2。
- 車がBにある場合（事前確率1/3）：司会者はCしか開けられない → Cを開ける確率は1（確実にCを開ける）。
- 車がCにある場合（事前確率1/3）：司会者はCを絶対に開けない → この仮説は排除されるので、確率は0
実際に、ベイズの定理を使って更新してみると
- Aに車がある事後確率 → 1/3
- Bに車がある事後確率 → 2/3
扉を変えたほうが「2倍」有利になるんですね。
ベイズ的に見ると、「司会者が外れを1つだけ見せた」という 条件付き情報 により、もともと他の2枚にあった 2/3 の確率（Bの1/3 と Cの1/3 の合計）が、そのまま残りの1枚（B）に集約された、と解釈できます。
なぜ「半々」にならないのか〜情報の質という視点〜
「残り2つだから50%ずつでしょ」という直感がなぜ外れるのか。
ベイズの視点だと、その理由がくっきり見えます。
鍵は司会者の行動がランダムではないということなんです。
司会者は当たりの場所を知っていて、意図的に外れを選んで開ける。
意図的に教えてくれている。つまり、追加の条件を与えてくれているということ。
この「意図のある行動」が、単なる偶然とは違う情報としての価値を持っているわけです。
ここを、もう少し掘り下げてみます。
「知っている司会者」と「知らない司会者」
試しに、こんな別バージョンを考えてみてください。
司会者が当たりの場所を知らずに、ランダムに残りの扉の1つを開けた。
それが、たまたまヤギだった。
この場合、残った扉の確率はどうなるかというと … 実は50%ずつになるんです。
同じ「扉Cが開いてヤギが見えた」という結果なのに、確率が違う。
なぜかというと、ベイズ推論ではデータがどうやって生まれたか（生成過程）も計算に入るからなんですね。
「知っている司会者」がCを開けた場合、「車がBにあるからCを開けざるを得なかった」という可能性が強く示唆されます。だからBの確率が上がる。
一方「知らない司会者」がたまたまCを開けた場合、その行動はAにもBにも偏った情報を与えない。
だから確率は変わらない（半々のまま）。
この違いを自然に扱えるのが、ベイズ推論の強みなんですね。
同じ結果を見ても、その背後にある過程によって更新のされ方が変わる。
ここがモンティ・ホール問題の一番面白いところだと思います。
100枚の扉で考えるとさらに明快
まだ直感的にピンとこない場合は、扉の数を増やしてみるとわかりやすいかもしれません。
- 100枚の扉があって、1枚だけ当たり。
- あなたが1枚選んだ後、当たりを知っている司会者が98枚の外れを開ける。
- 残ったのは、あなたが選んだ1枚と、司会者が残した1枚。
この場合、変えたほうがいいって直感的にも感じませんか？
あなたの最初の選択が当たりだった確率は1/100。
司会者は98枚の外れを「わざわざ避けて」1枚を残した。
その残された1枚に当たりがある確率は99/100なんです。
司会者の「意図的な行動」が持つ情報量が、扉の数が増えるほど際立つんですね。
ベイズ的に言えば、事前確率1/100が、98枚分の情報によって事後確率99/100に更新されるということです。
医療の検査結果にも、同じ構造がある
モンティ・ホール問題でベイズ更新の感覚がつかめると、同じ「直感が外れる」構造が別の場面にも見えてくるんですね。
たとえば、ベイズの勉強をしていると必ず出てくる以下のような例。
ある病気の検査で「陽性」と診断されたとします。
検査の精度が99%だとしたら、「ほぼ確実に病気だ」と思いますよね。
でも、その病気自体がとても珍しくて、人口の0.1%しか罹患しない病気だったとしたら …
ベイズ的に更新すると、陽性が出ても実際に病気である確率は約9%程度にしかならないんです。
事前確率（0.1%）が極端に低いと、精度99%の検査結果で更新しても、事後確率はまだ意外と低いまま。
これもモンティ・ホール問題と同じく、事前確率を無視して「結果だけ」で判断すると直感が外れるという例なんですね。
ベイズ推論の視点を持っていると、「検査が陽性だったけど、事前確率が低いから追加検査で確認しよう」という冷静な判断ができるようになる、というわけです。
直感の「ズレ」を楽しめるようになる
モンティ・ホール問題が面白いのは、人間の直感がベイズ的な更新をうまくできないことを教えてくれるところだと思うんですね。
私たちは「残り2つだから半々」と考えてしまう。
情報の生成過程を無視して、目の前の状態だけで判断しがちなんです。
でもベイズ推論は「どんな情報が、どういう過程で加わったか」を丁寧に追いかける。
前の記事で、プロンプトに条件を追加するたびにAIの確率分布が絞り込まれていくという話をしました。
あの「条件を足すと見え方が変わる」という感覚と、モンティ・ホール問題で「司会者が扉を開けると確率が変わる」という感覚は、根っこで繋がっているんですね。
この直感とのズレを「難しい」と感じるのではなく、「面白い」と感じられるかどうか。
そこにベイズ推論の視点を持つ意味があると思います。
数学を知ると、「なんで？」が「あぁ、なるほど」に変わる瞬間がある。
モンティ・ホール問題は、まさにその瞬間を味わえるパズルなんですね。
まとめ：ベイズの視点が、パズルを「納得」に変える
モンティ・ホール問題は、ベイズ推論という視点を通すと、不思議なパズルから論理的な納得に変わります。
- 事前確率：最初の選択では、どの扉も1/3
- 新しい情報：司会者が意図的に外れを開ける
- 事後確率：情報を踏まえて確率を更新すると、変えたほうが2/3
そして、今回見えてきたのは、同じ結果でも、情報の生まれ方によって確率の変わり方が違うというベイズ推論の奥深さです。
「知っている司会者」と「知らない司会者」で答えが変わるという事実は、データの背後にある過程を見ることの大切さを教えてくれるんですね。
次にモンティ・ホール問題を誰かに出されたら、ベイズ推論の視点で考えてみてください。
「あぁ、情報が加わったから確率が変わったんだな」
そう思えると、数学の面白さがひとつ見えてくるはずです。
数学観点のまとめ
- モンティ・ホール問題は、ベイズ推論の事前確率→情報追加→事後確率の枠組みで明快に説明できる
- 司会者の意図的な行動が「情報」として確率を更新する（ランダムな場合とは結果が異なる）
- 情報の生成過程（どうやってそのデータが生まれたか）がベイズ更新の結果を左右する
- 直感が外れるのは、人間が事前確率や情報の質を無視しがちだから
- 同じ構造は医療検査など日常の判断にも現れ、ベイズの視点が冷静な意思決定を助ける
関連する数学分野
- ベイズ統計学（ベイズの定理、事前分布・事後分布、ベイズ更新）
- 確率論（条件付き確率、事象の独立性）
- 情報理論（情報量と不確実性の関係）
- 意思決定理論（不確実性下の合理的判断）
補足1
論より証拠、ということで、モンティ・ホール問題をシミュレートしてみました。
試行回数を重ねるごとに、扉を変更（Switch）した場合の「真の確率 2/3 に収束していく」様子がわかると思います。
補足2
似たような話に「3囚人問題（3囚人のパラドックス）」というのもあります。
こちらも同じく、ベイズ推論で考えられる面白い話ですので、興味のある方はぜひ調べてみてください。